Geometric Singular Perturbation Method 2D (Ch 5, page 83)

Clear["Global`*"]
Off[General::spell1]

Regular Perturbation Expansion

Y[x,ϵ]:=(Subscript[Y, 0])[x]+ϵ (Subscript[Y, 1])[x]+(ϵ^2) (Subscript[Y, 2])[x]+(ϵ^3) (Subscript[Y, 3])[x]

p:=ϵ (Subscript[Y, 1])[x]+(ϵ^2) (Subscript[Y, 2])[x]+(ϵ^3) (Subscript[Y, 3])[x]

D[Y[x,ϵ],x]

Taylor series expansion of the vector field

F[x_,y_]:=f[x,y] + p(∂_y) f[x,y]+((p^2)/2)(∂_(y,y))f[x,y]+((p^3)/6)(∂_(y,y,y))f[x,y]

G[x_,y_]:=g[x,y] + p(∂_y) g[x,y]+((p^2)/2)(∂_(y,y))g[x,y]+((p^3)/6)(∂_(y,y,y))g[x,y]

Invariance (Darboux - Fenichel)

IDF=D[Y[x,ϵ],x] F[x,y]- ϵ G[x,y]

Collect[IDF,{ϵ,(ϵ^2),(ϵ^3)}]

Order (ϵ^0)

sp0[x_,y_]:=Solve[f[x,y]==0,y]

sp0[x,y]

(Subscript[Y, 0])[x_]:=

(Subscript[Y, 0])[x]

Order (ϵ^1)

Coefficient[IDF,ϵ]

sp1[x_,y_]:=Solve[-g[x,y]+f[x,y] (Subscript[Y, 1])'[x]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]==0,(Subscript[Y, 1])[x]]

sp1[x,(Subscript[Y, 0])[x]]/.{f[x,(Subscript[Y, 0])[x]]->0}

(Subscript[Y, 1])[x_]:=((g[x,(Subscript[Y, 0])[x]])/((Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]))

(Subscript[Y, 1])[x]

Order (ϵ^2)

Coefficient[IDF,(ϵ^2)]

sp2[x_,y_]:=Solve[f[x,y] (Subscript[Y, 2])'[x]+(Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]-(Subscript[Y, 1])[x] Derivative[0,1][g][x,y]+(1/2) (((Subscript[Y, 1])[x])^2) (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,2][f][x,y]==0,(Subscript[Y, 2])[x]]

sp2[x,(Subscript[Y, 0])[x]]/.{f[x,(Subscript[Y, 0])[x]]->0}

(Subscript[Y, 2])[x_]:=((-2 (Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,1][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]+2 (Subscript[Y, 1])[x] Derivative[0,1][g][x,(Subscript[Y, 0])[x]]-(((Subscript[Y, 1])[x])^2) (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,2][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]])/(2 (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]))

(Subscript[Y, 2])[x]

Order (ϵ^3)

Coefficient[IDF,(ϵ^3)]

sp3[x_,y_]:=Solve[f[x,y] (Subscript[Y, 3])'[x]+(Subscript[Y, 3])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]+(Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 2])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]-(Subscript[Y, 2])[x] Derivative[0,1][g][x,y]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,2][f][x,y]+(1/2) (((Subscript[Y, 1])[x])^2) (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,2][f][x,y]-(1/2) (((Subscript[Y, 1])[x])^2) Derivative[0,2][g][x,y]+(1/6) (((Subscript[Y, 1])[x])^3) (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,3][f][x,y]==0,(Subscript[Y, 3])[x]]

sp3[x,(Subscript[Y, 0])[x]]/.{f[x,(Subscript[Y, 0])[x]]->0}

(Subscript[Y, 3])[x_]:=(1/(6 (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]))(-6 (Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,1][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]-6 (Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 2])'[x] Derivative[0,1][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]+6 (Subscript[Y, 2])[x] Derivative[0,1][g][x,(Subscript[Y, 0])[x]]-6 (Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,2][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]-3 (((Subscript[Y, 1])[x])^2) (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,2][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]]+3 (((Subscript[Y, 1])[x])^2) Derivative[0,2][g][x,(Subscript[Y, 0])[x]]-(((Subscript[Y, 1])[x])^3) (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,3][f][x,(Subscript[Y, 0])[x]])

(Subscript[Y, 3])[x]

Example 5.3: Van der pol System (Ch 5, page 85)

Vector field

f[x_,y_]:=x + y-((x^3)/3)
g[x_,y_]:=-x

Taylor series expansion of the vector field

F[x_,y_]:=f[x,y] + p(∂_y) f[x,y]+((p^2)/2)(∂_(y,y))f[x,y]+((p^3)/6)(∂_(y,y,y))f[x,y]

G[x_,y_]:=g[x,y] + p(∂_y) g[x,y]+((p^2)/2)(∂_(y,y))g[x,y]+((p^3)/6)(∂_(y,y,y))g[x,y]

Invariance (Darboux - Fenichel)

Order (ϵ^0)

sp0[x_,y_]:=Solve[f[x,y]==0,y]

sp0[x,(Subscript[Y, 0])[x]]

(Subscript[Y, 0])[x_]:=(1/3) (-3 x+(x^3))

(Subscript[Y, 0])[x]

Order (ϵ^1)

Coefficient[IDF,ϵ]

sp1[x_,y_]:=Solve[-g[x,y]+f[x,y] (Subscript[Y, 1])'[x]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]==0,(Subscript[Y, 1])[x]]

sp1[x,(Subscript[Y, 0])[x]]/.{f[x,(Subscript[Y, 0])[x]]->0}

(Subscript[Y, 1])[x_]:=-(x/(-1+(x^2)))

Ordre (ϵ^2)

Coefficient[IDF,(ϵ^2)]

sp2[x_,y_]:=Solve[f[x,y] (Subscript[Y, 2])'[x]+(Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]-(Subscript[Y, 1])[x] Derivative[0,1][g][x,y]+(1/2) (((Subscript[Y, 1])[x])^2) (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,2][f][x,y]==0,(Subscript[Y, 2])[x]]

sp2[x,(Subscript[Y, 0])[x]]/.{f[x,(Subscript[Y, 0])[x]]->0}

(Subscript[Y, 2])[x_]:=((x (1+(x^2)))/(((-1+(x^2)))^4))

Order (ϵ^3)

Coefficient[IDF,(ϵ^3)]

sp3[x_,y_]:=Solve[f[x,y] (Subscript[Y, 3])'[x]+(Subscript[Y, 3])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]+(Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 2])'[x] Derivative[0,1][f][x,y]-(Subscript[Y, 2])[x] Derivative[0,1][g][x,y]+(Subscript[Y, 1])[x] (Subscript[Y, 2])[x] (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,2][f][x,y]+(1/2) (((Subscript[Y, 1])[x])^2) (Subscript[Y, 1])'[x] Derivative[0,2][f][x,y]-(1/2) (((Subscript[Y, 1])[x])^2) Derivative[0,2][g][x,y]+(1/6) (((Subscript[Y, 1])[x])^3) (Subscript[Y, 0])'[x] Derivative[0,3][f][x,y]==0,(Subscript[Y, 3])[x]]

FullSimplify[sp3[x,(Subscript[Y, 0])[x]]/.{f[x,(Subscript[Y, 0])[x]]->0}]

(Subscript[Y, 3])[x_]:=-((2 (x+6 (x^3)+3 (x^5)))/(((-1+(x^2)))^7))

to be continued ...