Jean-Marc Ginoux

EA PROTEE n° 3819

I.U.T. de Toulon, Université du Sud

Génie Mécanique Productique

BP 20132, 83957 La Garde Cedex,

France

Phone: +334 94 14 24 88

ginoux@univ-tln.fr

Domaines de Recherches – Collaborations Scientifiques

	· Leon O. Chua, Berkeley University, California · Aziz Aaloui, Cyrille Bertelle, Université du Havre · Christophe Letellier, Université de Rouen · René Lozi, Université de Nice Sophia Antipolis
· Systèmes Dynamiques & Géométrie Différentielle · Systèmes Dynamiques Complexes · Dynamique des Populations & Modélisation · Histoire des Sciences

Méthode de la Courbure du Flot

Dans le cadre d’application de la Géométrie Différentielle la courbe trajectoire, intégrale d’un système dynamique de dimension n peut être considérée comme une courbe dans un espace n-Euclidien ayant des propriétés locales métriques de courbures.

La Méthode de la Courbure du Flot est basée sur l’idée que s’il est généralement impossible d’obtenir la courbe trajectoire (par quadratures) il est toujours possible de calculer les courbures de cette courbe trajectoire puisqu’elle ne fait intervenir que ses dérivées temporelles.

Le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires s’annule définit une variété appelée : variété de courbure du flot.

Dans Differential Geometry Applied to Dynamical Systems (World Scientific Series on Nonlinear Science, series A) il a été établi que puisqu’une telle variété est définie à partir des dérivées temporelles du champ de vecteurs et contient par conséquent des informations sur la dynamique du système, sa seule connaissance permet de retrouver les principales caractéristiques des systèmes dynamiques étudiés. Ces caractéristiques pouvant être considérés comme les fondements de la Théorie des Systèmes Dynamiques sont au nombre de quatre : ensembles invariants, bifurcations locales, systèmes lents-rapides et intégrabilité.

· Points fixes et leur stabilité,

· Variétés invariantes (droites, plans, hyperplans),

· Approximation de la variété centrale,

· Formes normales,

· Equation de la variété lente invariante,

· Intégrale première

de systèmes dynamiques de dimension n peuvent être déduit de la variété de courbure du flot.

Puisque toutes les principales caractéristiques de la Théorie des Systèmes Dynamiques peuvent être retrouvées à partir de la variété de la courbure du flot, la Théorie des Systèmes Dynamiques et la Méthode de la Courbure du Flot sont consistants et par conséquent la Méthode de la Courbure du Flot représente une approche alternative géométrique à l’étude des systèmes dynamiques qui peut être appliquée aussi bien à des systèmes dynamiques de dimension n autonomes que non-autonomes.

Slow Manifold Gallery

Cette galerie propose les variétés lentes de systèmes dynamiques singulièrement perturbés ou non-singulièrement perturbés de dimensions 3, 4, 5 & 6 … ainsi que les Mathematica Files à partir desquelles elles ont été élaborées.

Systèmes Dynamiques & Géométrie Différentielle

Dans Differential Geometry and Mechanics Applications to Chaotic Dynamical Systems, il avait été établi que la variété de courbure du flot fournissait directement l’équation analytique de la variété lente de systèmes dynamiques autonomes lents-rapides de dimension deux et trois, singulièrement perturbés comme ceux de Van der Pol ou Chua mais aussi non-singulièrement perturbés comme celui de Lorenz.

Dans Slow Invariant Manifolds as Curvature of the Flow of Dynamical Systems, l’approche établie dans Differential Geometry and Mechanics Applications to Chaotic Dynamical Systems, a été généralisée à des systèmes dynamiques de dimension n. Il a été démontré que la courbure du flot, i.e., la courbure des courbes trajectoires, fournit directement l’équation analytique de la variété lente de systèmes dynamiques autonomes lents-rapides de dimension n. Ainsi, la méthode de la courbure du flot, a permis d’obtenir les variétés lentes de plusieurs modèles singulièrement perturbés ou non de dimension 4, 5 & 6 … De plus, l’invariance de la variété de courbure du flot a été démontrée en utilisant la notion de variétés invariantes introduite par G. Darboux en 1878.

Dynamique des populations & Modélisation

Dans Chaos in a three dimensional Volterra-Gause model of predator-prey type, un nouveau modèle de type prédateur-proie élaboré à partir des travaux de Vito Volterra^* et de Giorgii F. Gause a conduit à un attracteur chaotique en forme d’escargot (chaotic snail shell).

Dynamique des systèmes complexes

Dans Slow Manifold of a Neuronal Bursting Model, l’application de la méthode de la courbure du flot a fournit directement l’équation analytique de la variété lente d’un modèle neuronal (Neuronal Bursting Model, NBM).

Dans Invariant Manifolds of Complex Systems, l’invariance locale de l’équation analytique de la variété de courbure du flot a été établie dans le cas de systèmes complexes. De plus, il a été démontré, sous certaines hypothèses que cette variété constitue une intégrale première locale.

Histoire des Sciences

"La vraie méthode de prévision du futur des mathématiques est d'étudier leur histoire et leur état actuel"

Henri Poincaré – Science et Méthode 1908 –

Problématique : L’analyse Mathématique non-linéaire et la physique dans les années 1920 ainsi que la redécouverte des cycles limites d’Henri Poincaré par A. A. Andronov (C. Gilain et D. Aubin, Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris)

Publications

· Chaos in a three dimensional Volterra-Gause model of predator-prey type, J.M. Ginoux, B. Rossetto & J.L. Jamet

International Journal of Bifurcation & Chaos, 5, Vol. 15, pp. 1689-1708, 2005

· Differential Geometry and Mechanics Applications to Chaotic Dynamical Systems, J.M. Ginoux & B. Rossetto

International Journal of Bifurcation & Chaos, 4, Vol. 16, pp. 887-910, 2006

· Dynamical Systems Analysis Using Differential Geometry, J.M. Ginoux & B. Rossetto

Complex Computing-Networks, Series: Springer Proceedings in Physics, Vol. 104, 2006

· Slow Manifold of a Neuronal Bursting Model, J.M. Ginoux & B. Rossetto

Emergent Properties in Natural and Artificial Dynamical Systems, Understanding Complex Systems. Springer-Verlag, Heidelberg, 2006

· Invariant Manifolds of Complex Systems, J.M. Ginoux & B. Rossetto

Complex Systems and Self-organization Modelling, Understanding Complex Systems. Springer-Verlag, Heidelberg, in press, 2007

· Slow Invariant Manifolds as Curvature of the Flow of Dynamical Systems, J.M. Ginoux, B. Rossetto & L. Chua

International Journal of Bifurcation & Chaos, 11, Vol. 18, pp. 3409-3430, 2008

Invitation à des conférences

·  Vers une réduction de la complexité

Invité au séminaire Dynamique et Interfaces du Laboratoire J.A. Dieudonné par le Professeur René LOZI, 14 december 2007, Nice

· Slow Invariant Manifolds of Dynamical Systems

Invité au Bristol Centre for Applied Nonlinear Mathematics par le Professeur Bernd KRAUSKOPF, 15 february 2008, Bristol, U.K.

· Curvature of the Flow of Dynamical Systems

Invité au Centre de Recerca Matematica par le Professeur Jaume LLIBRE, 10 march 2008, Barcelona, Spain.

· Differential Geometry Applied to Dynamical Systems

Invité au World Congress of Nonlinear Analysis par le Professeur Valery GAIKO, 2-9 july 2008, Orlando, U.S.A.

Enseignement

· Mathématiques en 1^ère année de Génie Mécanique et Productique

Histoire des Sciences / Epistémologie

· Pour en finir avec le mythe de la Terre qui tourne de Thalès de Milet à Ptolémée

· La Relativité pour débutants

· Galilée et les expériences de la tour de Pise

· Les grands physiciens : Archimède de Syracuse, Héron d’Alexandrie, …

· Les paradoxes en Physique : le paradoxe d’Olbers, le paradoxe E.P.R., …

· Récréations scientifiques

· Le modèle prédateur-proie de Vito Volterra

Curriculum Vitae

Habilitation à Diriger des Recherches en Mathématiques Appliquées (2008)

Docteur en Mathématiques Appliquées (2005, Qualifié en 60 & 61^ème section C.N.U.)

Professeur certifié en Physique Chimie (C.A.P.E.S. en 2004)

Chargé de l'enseignement des Mathématiques au département de Génie Mécanique Productique

Jazz